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ボーカロイドで学ぶ高校科目(数学3_2/2)

~数学(3)~ 2/2 Lily「全員それぞれグーチョキパーの3通りの手があるから、全パターン数は3×3×3×3で81パターンだ」 キヨテル「そうです、1人だけ勝つ可能性はまず[誰が勝つか]で4パターン、その其々に対して[何の手で勝つか]の3パターンあります。このように"状況が重なり合う"パターン数は乗法計算処理します。つまり4×3で12パターンあることになります」 GUMI「ってことはこうですね」 (1) 12/81=4/27 [計算処理のイコール] キヨテル「次に2人が勝つ確率を考えてみましょう。まず[4人中どの2人が勝つか]を計算し、それに[何の手で勝つか]を乗じれば問題文のパターン数になります」 miki「[4人中どの2人が勝つか]は…4C2だから6パターンね。[何の手で勝つか]はグーチョキパーの3パターンだから、こうね」 (2) (6×3)/81=2/9 ミク「あいこになる確率はどう計算するんですか?」 キヨテル「"状況が重ならない"パターン数は条件分岐して後で加法計算処理を行います。つまり次の1と2に条件分岐します」 1.全ての手が同じ 2.手が3種類 GUMI「1.はすぐパターン数がわかるね。グーチョキパーの3パターンだね」 Lily「2.は誰が出したかはとりあえず棚上げしといて、手の出し方が次の3種類だ」 [グー・グー・チョキ・パー],[グー・チョキ・チョキ・パー],[グー・チョキ・パー・パー] キヨテル「これらの手をを描いたカードを4人に配分すればいいと考えるんです。ついでに覚えときましょうか、4枚のカードを配る組合せは4!パターンでその中に2枚同じとみなせるカードがあるときはその4!を2!で割ります。つまり4!/2!=12パターンです」 ミク「4!ってなんでしたっけ?」 キヨテル「"階乗"といいます。4!なら[4×3×2×1]という意味です」 Lily「つまり上の3種類の場合にそれぞれ12パターンあるわけだ」 miki「…じゃあ[手が3種類]の場合なら12×3で36パターンあるんだ」 GUMI「[全ての手が同じ]は3パターンだから…これを足し合わせるんですか?」 キヨテル「はい、つまり3+36で39パターンが求める目的パターン数です。つまり答えは全81パターンで割ってこうなります」 (3) (3+36)/81=13/27 ミク「へえーあいこになる確率って1/3より高いんだ」 キヨテル「そうです、2人か3人ならあいこになる確率は共に1/3なんですが、4人以上になると人数が増えて行くごとにあいこになるパターン数が増えて行き、その確率は高くなっていきます」 GUMI「3人が勝つ場合の確率だけやってませんね」 miki「これもパターン数を数えて算出するの?」 キヨテル「これだけ残したのは実は訳があります。それは(1)(2)(3)の確率が出れば残りの[3人が勝つ確率]は簡単に出せるんです」 Lily「確率は全部足し合わせるときっかり1になるから、それを考えればいいんだ」 ミク「1?ぴったり1になるの?」 キヨテル「はい、次のように計算できます」 1-((4/27)+(2/9)+(13/27))=4/27 ミク「…めんどくさいな」 キヨテル「状況によっては凄く便利なんです。[少なくとも1つは○○]なパターン数を考える時には欠かせません」 GUMI「どんな場面ですか?」 キヨテル「次の例題を見てみてください」 1から6までの数字が書かれた6面ダイスを3回振ると仮定する。少なくとも1回、[4]が出る確率を算出せよ miki「えーっと、全パターン数は6×6×6で216パターンだから…」 ミク「考えられる組合せは…えっと、[4]が1回、2回、3回…ああダメ。訳解らない」 Lily「こういうときは[出目が全部4以外]のパターン数からまず確率を出して、それを1から引けばいいんだ」 GUMI「まず[出目が全部4以外]からだね。こうだね」 (5/6)^3=125/216 Lily「この125/216は3回ともが出目が[4]以外だという確率だ。つまり求められている現象が"起こらない"確率だ」 キヨテル「裏を返せば残りの91/216が、求められている現象[少なくとも1回4が出る]という確率です」 1-(125/216)=91/216 miki「なるほど。こうすればわざわざあらゆるパターン数を計算しなくて済むんだ」 キヨテル「他にもいろいろありますので調べると面白いですよ。では今日は最後に確率の罠を教えて終わりにします」 ミク「確率の罠?」 キヨテル「カジノオーナーが確率を利用して大儲けしている仕組みを少し紹介します」 Lily「どうやんの?(ワクワク)」 キヨテル「解りやすく日本円で説明しますが、ルーレットがここにあると考えてみてください。カジノなら必ず置いてあるあれです。解りやすいように1回の掛け金は必ず1万円のみで参加者は10万人だとします。各参加者は10回ベットし、全部で10万円を必ず賭けると仮定します。つまり移動するお金の量は100億円です。ただし参加者は赤か黒かにしか賭けれないとします」 GUMI「赤か黒かって事は確率1/2ってことですか?」 キヨテル「それが違うんですよ。ルーレットには赤にも黒にも属さない"0"と"00"があるんです。この場合親(カジノオーナー)の総取りになると考えて下さい。赤と黒はそれぞれ18、合わせて36番まであります」 Lily「ってことはこうか」 赤になる確率…18/38 黒になる確率…18/38 親の総取りになる確率…2/38 ミク「19分の1の確率でしか親の総取りにならないんですね」 キヨテル「ところがこの1/19が回数を重ねるごとに拡大していくんです。このケースだと10回ルーレットが回されるとすると6億4706万円が参加者の懐からカジノ側に消えていきます。カジノ側は何もせずとも6億円以上のお金を得る事ができます。これはパチンコ・競馬・競輪・オートレースなど胴元がいるあらゆるギャンブルに共通してます」 miki「カジノは必ずオーナーが得をするようにできてるのね」 キヨテル「参考までに10回ルーレットにチャレンジした際の結果も下に明示します」 +10万円…18人 +8万円…219人 +6万円…1231人 +4万円…4105人 +2万円…8979人 プラマイ0…13468人 -10万円…163人 -8万円…1304人 -6万円…4697人 -4万円…10021人 -2万円…14030人  GUMI「明らかに違いますね。負けてる方が多い」 キヨテル「実際のギャンブルでは負けた人は破産し、カジノ側の勝ちが確定します。大資本を持つカジノは破産することはありません。賭けに勝った人は何回でも何回でもギャンブルを続けますから必ずどこかでカジノ側が勝つことになります。これを"ギャンブラーの破滅"というのですが、今日はここまでにしましょう。お疲れ様でした」 ミク・GUMI・Lily・miki「「「「有難うございました」」」」 AHS家 居間 キヨテルは居間で机に向かい、担任する小学校のクラスのテスト用紙を採点していた。 ユキ「先生、ご飯できたよ」 いろは「早く食べないと冷めるよー」 キヨテル「ごめん、あと少しだから…よし小学校の分はできた。これで後はLilyさんのだけですね」 Q.65枚の10円玉を3組の兄弟で分けることになった。3組の兄弟のそれぞれの兄であるA,B,Cがもらった枚数の合計は48枚で、CはAより4枚多く、BはCより4枚多かった。弟たち3人X,Y,Zがもらった枚数は、Xが自分の兄の1/2、Yが自分の兄の1/3、Zが自分の兄の1/4であった。このときCとその弟がもらった金額の合計はいくらか。 A.240円 キヨテル「答えは合ってるんですが…説明を書かないとだめですよっと」 説明.Aが貰った枚数をx枚とするとCは(x+4)枚、Bは(x+8)枚貰った事になる。ABCが貰った枚数は合計48枚だから次の式が成り立つ。 x+(x+4)+(x+8)=48 [方程式のイコール] ⇔ x=12 よって、A:12枚 B:20枚 C:16枚 Yが自分の兄の1/3貰ったという事は、Yの兄はAとなる(20と16は3で割れない為)。 よって、Y:4枚 残りは13枚であるためこれをXとZで分け合う。 条件を満たすのはX:8枚(Cの弟) Z:5枚(Bの弟)の場合のみ。 よって、次がわかる。 A:12枚 B:20枚 C:16枚 Y: 8枚 Z: 5枚 X: 8枚 すなわち、Cとその弟が貰った金額は10円玉が24枚で240円となる。 キヨテル「お待たせしました、採点終わりましたよ。説明文を書き忘れるなんてLilyさんもうっかり屋さんですね」 ユキ「いただきます(…先生、それはLilyちゃんの作戦よ)」 いろは「いただきまーす(…少しでも多く気にかけて貰いたかったんだろうね)」 miki「沢山食べてね!」 ユキ「(miki姉ちゃんは気楽でいいな…)」 AHS家の末っ子ユキは黙々と夕食を食べていた。 補足 ネル「ネルでーす」 ハク「…ハクです」 テト「テトだよ」 ネル・ハク・テト「「「補足コーナーはじまりはじまりー」」」 ハク「…今日は確率がどう役立つかを解説するわ」 ネル「確率論がカルダノ、ガリレオ、フェルマー、パスカルらの数学者によって創始された後、保険会社が創られた」 テト「今現在でも保険会社は事故に遭う確率や病気になる確率を計算し、保険商品を設計しているよ」 ハク「…期待値だけ考えれば、被保険者は必ず損するんだけど保険を損なものとはみんな思わないわよね?」 ネル「その理由は、確率が低い事故に遭遇した時に補償が降りるという"生活上のありがたさ"があるからなんだ」 テト「これを経済学用語で"効用"と言うよ。保険は保険会社も被保険者も両方とも得をするシステムなんだ」 ハク「…大航海時代に保険システムができたおかげで投資が活性化し西欧諸国は国力が膨らんでいったの」 ネル「維新の時にその余りに便利なシステムに明治政府も感心したと言うな」 テト「企業が戦略を決定する際にはマーケティング(市場調査)が欠かせないけど、これも確率論が使われている」 ハク「…生産拠点では品質チェックなどにも応用されてるわね。とにかく確率は社会に出たら欠かせない概念よ」 ネル「あんまり話を進めると統計学の分野になるからそれはまたいつか言おう」 テト「じゃあ勉強頑張ってね!それじゃまたね」 ~数学(3)~ 終わり 参考図書 図解 確率がわかる本 [単行本] 公務員試験 新スーパー過去問ゼミ2 数的推理[改訂版] [単行本] ちょっとわかればこんなに役に立つ 中学・高校数学のほんとうの使い道 (じっぴコンパクト新書 76) [新書] 統計学入門 [単行本]

初見の方は必ずプロローグをご覧ください。
投稿日時 : 2011/09/30 19:43

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